Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)F（

2

，

2

）及直線l：x+y-

2

=0，曲線C₁是滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡：①|(zhì)PF|=

2

d其中d是P到直線l的距離；②

x＞0 y＞0 2x+2y＜5

（1）求曲線C₁的方程；
（2）若存在直線m與曲線C₁、橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）均相切于同一點(diǎn)，求橢圓C₂離心率e的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出|PF|，d，根據(jù)：①|(zhì)PF|=

2

d其中d是P到直線l的距離；②

x＞0 y＞0 2x+2y＜5

，即可求曲線C₁的方程；
（2）直線m與曲線C₁相切，設(shè)切點(diǎn)為M（t，

1

t

），

1

2

＜t＜2，利用導(dǎo)數(shù)求出直線m的方程，代入橢圓C₂的方程，利用△=0，可得a²+b²t⁴=4t²，結(jié)合

t2

a2

+

1

b2t2

=1，即可求出橢圓C₂離心率e的取值范圍．

解答： 解：（1）|PF|=

(x- 2 )2+(y- 2 )2

=

x2+y2-2 2 (x+y)+4

，d=

|x+y- 2 |

2

，…（2分）
由①|(zhì)PF|=

2

d得：

x2+y2-2 2 (x+y)+4

=

2

•

|x+y- 2 |

2

，
即xy=1            …（4分）
將xy=1代入②得：x＞0，

1

x

＞0，x+

1

x

＜

5

2

，
解得：

1

2

＜x＜2
∴曲線C₁的方程為：y=

1

x

（

1

2

＜x＜2）          …（6分）
（2）由題意，直線m與曲線C₁相切，設(shè)切點(diǎn)為M（t，

1

t

），

1

2

＜t＜2
∵y=

1

x

，∴y′=-

1

x2

，
∴x=t時(shí)，y′=-

1

t2

，
∴直線m的方程為y-

1

t

=-

1

t2

（x-t），
即y=-

1

t2

x+

2

t

        …（7分）
將y=-

1

t2

x+

2

t

代入橢圓C₂的方程b²x²+a²y²=a²b²，并整理得：（b²t⁴+a²）x²-4a²tx+a²（4-b²t²）t²=0
由題意，直線m與橢圓C₂相切于點(diǎn)M（t，

1

t

），則△=16a⁴t²-4a²（b²t⁴+a²）（4-b²t²）t²=0，
即a²+b²t⁴=4t²       …（9分）
又

t2

a2

+

1

b2t2

=1，即a²+b²t⁴=a²b²t²，
聯(lián)解得：b²=

2

t2

，a²=2t²    …（10分）
由

1

2

＜t＜2及a²＞b²得1＜t＜2，
故e²=

a2-b2

a2

=1-

1

t4

，…（12分）
得0＜e²＜

15

16

，
又0＜e＜1，故0＜e＜

15

4

，
∴橢圓C₂離心率e的取值范圍是（0，

15

4

）     …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查曲線的切線，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．