已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，橢圓C過點(
1
2
，
3
)．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點P（0，m）作圓x2+y2=1的切線l交橢圓C于A，B兩點，記△AOB（O為坐標原點）的面積為S△AOB，將S△AOB表示為m的函數(shù)，并求S△AOB的最大值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由已知條件設(shè)橢圓C的方程為：
x2
4b2
+
x2
b2
=1，再由橢圓C過點(
1
2
，
3
)，能求出橢圓C的標準方程．
（2）由題意知|m|≥1．設(shè)切線l的方程為y=kx+m，由
y=kx+m
y
2
 
4
+
x
2
 
=1
，得(
k
2
 
+4)
x
2
 
+2k mx+m2-4=0，利用韋達定理結(jié)合題設(shè)條件能求出S△AOB的最大值．
解答： 解：（1）∵橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，
∴a=2b，設(shè)橢圓C的方程為：
x2
4b2
+
x2
b2
=1，
∵橢圓C過點(
1
2
，
3
)，
∴
3
4b2
+
1
4b2
=1，∴b=1，a=2，
∴橢圓C的標準方程為
y2
4
+x2=1．…（4分）
（2）由題意知，|m|≥1．
由題設(shè)知切線l的斜率存在，設(shè)切線l的方程為y=kx+m，
由
y=kx+m
y
2
 
4
+
x
2
 
=1
，得(
k
2
 
+4)
x
2
 
+2k mx+m2-4=0，
設(shè)A、B兩點的坐標分別為（x1，y1）（x2，y2），
則x1+x2=-
2km
k2+4
，x1x2=
m2-4
k2+4
，…（6分）
又∵l與圓x2+y2=1相切，
∴
|m|
k2+1
=1，k2=m2-1，
∴|AB|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2 

=
(1+k2)[
4k2m2
(k2+4)2
-
4(m2-4)
k2+4
]

=
4
3
|m|
m2+3
，
∴S△AOB=
1
2
|AB|=
2
3
|m|
m2+3
，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）
∴S△AOB=
2
3
|m|+
3
|m|
≤
2
3
2
|m|
3
|m|
=1（當且僅當m=±
3
時取等號）
∴當m=±
3
時，S△AOB的最大值為1．…（13分）
點評：本題考查橢圓標準方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理、均值不等式的合理運用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

要將兩種大小不同的鋼板截成A，B，C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如表所示：
規(guī)格類型
鋼板類型		 A B C
第一 2 1 1
第二 1 2 3
今需要A，B，C三種規(guī)格的成品分別是15，18，27塊，至少需要這兩種鋼板共是
 
張．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）上點T（3，t）到焦點F的距離為4．
（Ⅰ）求t，p的值；
（Ⅱ）設(shè)A、B是拋物線上分別位于x軸兩側(cè)的兩個動點，且
OA
•
OB
=5（其中O為坐標原點）．
（�。┣笞C：直線AB必過定點，并求出該定點P的坐標；
（ⅱ）過點P作AB的垂線與拋物線交于C、D兩點，求四邊形ACBD面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的點P到左右兩焦點F1，F(xiàn)2的距離之和為2
2
，離心率為
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過右焦點F2的直線l交橢圓于A、B兩點，若y軸上一點M(0，
3
7
)滿足|MA|=|MB|，求直線l的斜率k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標原點O，左頂點A（-2，0），離心率e=
1
2
，F(xiàn)為右焦點，過焦點F的直線交橢圓C于P、Q兩點（不同于點A）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當△APQ的面積S=
18
2
7
時，求直線PQ的方程；
（Ⅲ）求
OP
•
FP
的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

實數(shù)x，y滿足不等式組
y≥0
x-y≥0
2x-y-2≤0
求w=
y-1
x+1
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某單位招聘職工，經(jīng)過幾輪篩選，一輪從2000名報名者中篩選300名進入二輪筆試，接著按筆試成績擇優(yōu)取100名進入第三輪面試，最后從面試對象中綜合考察聘用50名．
（Ⅰ）求參加筆試的競聘者能被聘用的概率；
（Ⅱ）用分層抽樣的方式從最終聘用者中抽取10名進行進行調(diào)查問卷，其中有3名女職工，求被聘用的女職工的人數(shù)；
（Ⅲ）單位從聘用的三男和二女中，選派兩人參加某項培訓，至少選派一名女同志參加的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為2，其一個頂點的坐標是(
1
3
，0)；又直線l：y=kx+1與雙曲線C相交于不同的A、B兩點．
（Ⅰ）求雙曲線C的標準方程；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓過坐標的原點？若存在，求出k的值；若不存在，寫出理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于給定的以下四個命題：
①函數(shù)f(x)=
x2-2x
x-2
是奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）在（a，b）和（c，d）都是增函數(shù)，若x1∈（a，b），x2∈（c，d），且x1＜x2則一定有f（x1）＜f（x2）；
③函數(shù)f（x）在R上為奇函數(shù)，且當x＞0時有f(x)=
x
+1，則當x＜0，f（x）=-
-x
-1；
④函數(shù)y=x+
1-2x
的值域為{y|y≤1}．
其中正確命題的序號是
 
．

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