Question

14．已知函數(shù)f（x）=（sinωx+$\sqrt{3}$cosωx）²-1（其中ω＞0），且函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2$ωx+\frac{π}{6}$）+1，由三角函數(shù)的周期性及其求法即可得解．
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，當x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]時，可求2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解．

解答 解：（1）因為f（x）=（sinωx+$\sqrt{3}$cosωx）²-1
=（sin²ωx+3cos²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx）-1
=2cos²ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx   （2分）
=cos2ωx+$\sqrt{3}sin2ωx+1$ （4分）
=2sin（2$ωx+\frac{π}{6}$）+1，（6分）
因為函數(shù)f（x）的最小正周期為π，所以2ω=$\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$，
所以ω=1；（8分）
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
當x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]時，2x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
所以當x=-$\frac{π}{4}$時，函數(shù)取得最小值f（-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{3}+1$，（11分）
當x=$\frac{π}{6}$時，函數(shù)取得最大值f（$\frac{π}{6}$）=3．（13分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．