Question

4．如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，點E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，且EF∥BC，將△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P-EF-B的大小為60°（如圖2）．
（1）求證：EF⊥PB；
（2）若點E為AB的中點，求直線PC與平面BCFE所成角的正切值；
（3）求四棱錐P-CBFE體積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由EF⊥AB可知折疊后EF⊥PE，EF⊥BE，從而得到EF⊥平面PBE，推出EF⊥PB；
（2）由EF⊥PE，EF⊥BE可知∠PEB即為二面角P-EF-B的平面角，又因為PE=BE，得出△PBE是等邊三角形，取BE中點G，連接PG，CG，可證得PG⊥平面BCFE，故∠PCG為直線PC與平面BCFE所成角；
（3）設AE=x則由△AEF∽△ABC可得出EF=x，BE=4-x，過P作平面BCFE的垂線段PH，則PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，代入棱錐棱錐體積公式得到關于x的函數(shù)，求出該函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（1）∵折疊前EF⊥AB，∴折疊后EF⊥PE，EF⊥BE，∵PE?平面PBE，BE?平面PBE，PE∩BE=E，
∴EF⊥平面PBE，∵PB?平面PBE，∴EF⊥PB．
（2）取BE中點G，連接PG，CG，
∵EF⊥PE，EF⊥BE，平面PEF∩平面BCFE=EF，PE?PEF，BE?平面BCFE，
∴∠PEB即為二面角P-EF-B的平面角，即∴∠PEB=60°，
∵E為AB的中點，∴PE=BE=$\frac{1}{2}AB=2$，∴△PBE是等邊三角形．
∴PG⊥BE，PG=PE•sin60°=$\sqrt{3}$，BG=$\frac{1}{2}$BE=1．
∵EF⊥平面PBE，PG?平面PBE，∴EF⊥PG，
∵BE∩EF=E，BE?平面BCFE，EF?平面BCFE，
∴PG⊥平面BCFE，即∠PCG為直線PC與平面BCFE所成角；
在Rt△BCG中，CG=$\sqrt{B{C}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{17}$．
tan∠PCG=$\frac{PG}{CG}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{17}}$=$\frac{\sqrt{51}}{17}$．
（3）設AE=x，則PE=x，BE=4-x，（0＜x＜4）．
∵∠ABC=90°，AB=BC=4，EF∥BC，
∴EF=AE=x，
過P作PH⊥BE，垂足為H，由（2）可知PH⊥平面BCFE，且PH=PE•sin∠PEB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
設四棱錐P-CBFE體積位V，則V（x）=$\frac{1}{3}$•S_梯形BCFE•PH=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•（x+4）（4-x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{12}$（16x-x³）
V′（x）=$\frac{\sqrt{3}}{12}$（16-3x²）．
令V′（x）=$\frac{\sqrt{3}}{12}$（16-3x²）=0得x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或x=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（舍）．
當0＜x＜$\frac{4\sqrt{3}}{3}$時，V′（x）＞0，當$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜x＜4時，V′（x）＜0．
∴當x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$時，V（x）取得最大值V（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{12}$•（16•$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）³）=$\frac{32}{9}$．
∴四棱錐P-CBFE體積的最大值是$\frac{32}{9}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質，線面角及空間幾何體體積計算，找到幾何體的高并給出證明是關鍵．