Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a_n＞0，a₁=1，且a_n²，2S_n，a_n+1²成等比數(shù)列，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$，數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n，求證T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）由題意可得（2S_n）²=a_n²a_n+1²，從而可得a_n+2-a_n=2，從而可判斷出a_n=n；
（2）化簡b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，利用放縮法證明即可．

解答 解：（1）∵a_n²，2S_n，a_n+1²成等比數(shù)列，
∴（2S_n）²=a_n²a_n+1²，又∵a_n＞0，
∴2S_n=a_na_n+1，2S_n+1=a_n+1a_n+2，
兩式相減可得，
2a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），
∴a_n+2-a_n=2，
∵a₁=1，∴a₂=2；
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
故a_n=n；
（2）證明：∵b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴T_n=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$
＜1+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$
=1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$
=2-$\frac{1}{n}$＜2．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用及放縮法的應(yīng)用，同時考查了裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．