已知a為常數(shù),a∈R,函數(shù)f(x)=(x-1)lnx,g(x)=-
1
3
x3+
2-a
2
x2+(a-!)x.
(1)求函數(shù)f(x)的最值;
(2)若a>0,函數(shù)g′(x)為函數(shù)g(x)的導函數(shù),g′(x)≤k(a3+a)恒成立,求k的取值范圍.
(3)令h(x)=f(x)+g(x),若函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,1]上是單調函數(shù),求a的取值范圍.
考點:導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性
專題:轉化思想,導數(shù)的綜合應用
分析:(1)求f(x)的導函數(shù)f′(x),令f′(x)=0,判斷極點,在求最值.
(2)求出g(x)的導函數(shù)g′(x),利用分離參數(shù),轉化為函數(shù),結合不等式性質,求出k的范圍.
(3)列出h(x)的解析式,求出導函數(shù)h′(x),既然是單調的,一定是h′(x)的符號不可變,
   就能夠列出條件求出范圍.
解答: 解:(1)由題意可知f(x)的定義域為{x|x>0},f'(x)=1-
1
x
+lnx,且f'(1)=0,
當0<x<1時,f'(x)<0,當x>1f'(x)>0.
所以在x=1時取極小值,且為最小值,f(x)無最大值.
所以f(x)min=f(1)=0
(2)g(x)=-
1
3
x3+
2-a
2
x2+(a-!)x.g′(x)=-x2+(2-a)x+(a-1),對稱軸x=1-
a
2

∴g′(x)max=
a2
4
,要使g′(x)≤k(a3+a)恒成立,只需
a2
4
≤k(a3+a),
即k≥
a2
4(a3+a)
=
1
4(a+
1
a
)
,因為
1
4(a+
1
a
)
1
8
,所以k≥
1
8

(3)h(x)=f(x)+g(x),h′(x)=-x2+(2-a)x+a-
1
x
+lnx.
設m(x)=-x2+(2-a)x+a-
1
x
+lnx,m′(x)=-2x+
1
x2
+
1
x
+(2-a)
觀察可得m′(x)在區(qū)間(0,1]上是單調函數(shù),所以m′(x)≥m′(1)=2-a
∵函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,1]上是單調函數(shù),∴只有h′(x)不變符號,h′(1)=0,h′(
1
2
)<0
可以判斷h′(x)≤0,h′(x)≤h′(1),∴m(x)為增函數(shù),m′(x)≥0,從而可得2-a≥0,
所以a≤2
點評:本題是一道綜合試題,難度較大,綜合考察了,導數(shù)在求最值,證明單調性,不等式恒成立,參變量范圍中的應用,需要的思維能力很靈活,代數(shù)變換化簡能力很強.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則平面ABC的一個單位法向量是( 。
A、(1,1,-1)
B、(
3
3
,-
3
3
3
3
C、(1,1,1)
D、(-
3
3
,-
3
3
,-
3
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足a1=0,an+1=an+2
an+1
+1,則a13=( 。
A、143B、156
C、168D、195

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C所對邊分別為a,b,c,且1+
tanA
tanB
=
-2c
b

(Ⅰ)求角A;
(Ⅱ)若m=(0,-1),n=(cosB,2cos2
C
2
),試求|m+n|的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
p2
+
y2
3
=1的左焦點在拋物線C:y2=2px(p>0)的準線上,F(xiàn)為拋物線的焦點.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)若直線l過點F交拋物線于不同的兩點A、B,交y軸于點M,且
MA
=a
AF
,
MB
=b
BF
,則對任意的直線l,a+b是否為定值?若是,求出a+b的值;否則,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知正項等比數(shù)列{an}滿足a4=2a2+a3,a32=a6
(Ⅰ)求{an}的通項公式;
(Ⅱ)求an•log2(an)的前n項和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知二項式(x+
1
2x
n(n∈N*,n≥2).
(1)若該二項式的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,求正整數(shù)n的值;
(2)在(1)的條件下,求展開式中x4項的系數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+b圖象上的點P(2,1)關于直線y=x的對稱點Q在函數(shù)g(x)=lnx+a上.
(Ⅰ)求函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)的最大值;
(Ⅱ)對任意x1∈[-e,-1],x2∈[
e
,e2],是否存在實數(shù)k,使得不等式2k[g(x1)-2]+f(x1)+3<ln[f(x2)+3]成立?若存在,請求出實數(shù)k的取值范圍;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
+lnx,g(x)=
1
2
x2
(1)若直線l與f(x)與g(x)都相切,求l的方程;
(2)若對任意x1>x2>0,不等式t[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,求t的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案