Question

過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線l與x軸、y軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)，求滿足下列條件的直線l的方程，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
（1）△AOB面積最小時(shí)；
（2）|OA|+|OB|最小時(shí)；
（3）|PA|•|PB|最小時(shí)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的面積公式,函數(shù)的值域,兩點(diǎn)間的距離公式

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，則直線方程為

x

a

+

y

b

=1．根據(jù)直線過(guò)點(diǎn)P，可得a，b的關(guān)系式，然后表示出△AOB面積，通過(guò)變形運(yùn)用基本不等式即可求得答案；
（2）運(yùn)用（1）問(wèn)結(jié)論，使用基本不等式可得答案；
（3）運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式表示出|PA|•|PB|，通過(guò)整理使用基本不等式可求；

解答： 解：由題意，設(shè)A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，直線方程為

x

a

+

y

b

=1．又直線l過(guò)點(diǎn)P（2，1），得

2

a

+

1

b

=1，
（1）∵

2

a

+

1

b

=1，∴a+2b=ab⇒a+2b-ab-2=-2⇒a（1-b）+2（b-1）=-2，
⇒（a-2）（b-1）=2＞0，a＞2，b＞1，
當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，即S=

1

2

ab最小，
得S=

1

2

ab=

1

2

（a+2b）=

1

2

[（a-2）+2（b-1）]+2≥

2(a-2)(b-1)

+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)a-2=2（b-1），即a=4，b=2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為

x

4

+

y

2

=1，即x+2y-4=0；
（2）|OA|+|OB|=a+b=（a-2）+（b-1）+3≥3+2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)a-2=b-1=

2

，即a=2+

2

，b=1+

2

時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)直線l的方程為

x

2+ 2

+

y

1+ 2

=1，即x+

2

y-2-

2

=0．
（3）|PA|•|PB|=

[(a-2)2+(1-0)2][22+(b-1)2]

=

(a-2)2(b-1)2+4(a-2)2+(b-1)2+4

=

8+4(a-2)2+(b-1)2

≥

8+2 4(a-2)2(b-1)2

=4，
當(dāng)且僅當(dāng)2（a-2）=b-1=2，即a=b=3時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)直線l的方程為

x

3

+

y

3

=1，即x+y-3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的面積公式、兩點(diǎn)間的距離公式及基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．