Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=a（S_n-a_n+1）（正常數(shù)a≠1），c_n=

1

an+1

-

1

an+1-1

．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=a_n²+S_n•a_n，若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求a的值；
（3）在滿足條件（2）的情形下，c_n=

1

an+1

-

1

an+1-1

，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＞2n-

1

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：

分析：（Ⅰ）利用數(shù)列{a_n}的通項a_n與前n項和S_n之間的關(guān)系：n=1時，a₁=s₁；n≥2時，a_n=s_n-s_n-1，即可求出數(shù)列{a_n}的通項a_n．
（Ⅱ）將通項a_n代入已知條件S_n=a（S_n-a_n+1）即可求出S_n的表達式，將a_n與S_n代入b_n的表達式，據(jù)已知條件數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，利用b22=b₁b₃即可求出a的值．
（Ⅲ）由已知得cn=

1

( 1 2 )n+1

-

1

( 1 2 )n+1-1

=2-

1

2n+1

+

1

2n+1-1

，從而得到cn＞2-

1

2n

+

1

2n+1

，由此能證明T_n＞2n-

1

2

．

解答： （Ⅰ）解：當n=1時，S₁=a（S₁-a₁+1），∴a₁=a，
當n≥2時，S_n=a（S_n-a_n+1），S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1）
兩式相減得：a_n=a•a_n-1，

an

an-1

=a（a≠0，n≥2），
即{a_n}是等比數(shù)列，
∴

a

n

=a•a^n-1=aⁿ．
（Ⅱ）解：由a≠1得b_n=a_n²+S_n•a_n
=（aⁿ）²+

a(an-1)

a-1

•an=

(2a-1)a2n-a•an

a-1

，
若{b_n}為等比數(shù)列，則有b22=b1b3，
而b1=2a2，b2=a3(2a+1)，b3=a4(2a2+a+1)，
故[a³（2a+1）]²=2a²•a⁴（2a²+a+1），
解得a=

1

2

，
再將a=

1

2

代入b_n得b_n=（

1

2

）ⁿ，即數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
∴a=

1

2

．
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知a_n=(

1

2

)n，又c_n=

1

an+1

-

1

an+1-1

，
∴cn=

1

( 1 2 )n+1

-

1

( 1 2 )n+1-1

=2-

1

2n+1

+

1

2n+1-1

，
∴cn＞2-

1

2n

+

1

2n+1

，
T_n=c₁+c₂+…+c_n
＞（2-

1

2

+

1

22

）+（2-

1

22

+

1

23

）+…+（2-

1

2n

+

1

2n+1

）
=2n-

1

2

+

1

2n+1

＞2n-

1

2

．
∴T_n＞2n-

1

2

．

點評：本題考查了數(shù)列{a_n}的通項公式a_n與前n項和S_n之間的關(guān)系，及等比數(shù)列的通項公式．較好地檢驗了學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識解決問題的能力．