已知：在數(shù)列{an}中，a1=7，an+1=
7an
an+7
，
（1）請(qǐng)寫出這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，并猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）請(qǐng)證明你猜想的通項(xiàng)公式的正確性．
考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法
專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析：（1）由a1=7，an+1=
7an
an+7
，代入計(jì)算，可求數(shù)列的前4項(xiàng)，從而猜想{an}的通項(xiàng)公式；
用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵是假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，命題成立，利用遞推式，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立．
解答： 解：（1）由已知a1=7，a2=
7
2
，a3=
7
3
，a4=
7
4
…（3分）
猜想：an=
7
n
…（6分）
（2）由an+1=
7an
an+7

兩邊取倒數(shù)得：?
1
an+1
=
1
an
+
1
7
，?
1
an+1
-
1
an
=
1
7
，…（9分）
?數(shù)列 {
1
an
}是以
1
a1
=
1
7
為首相，以
1
7
為公差的等差數(shù)列，…（12分）
⇒
1
an
=
1
7
+（n-1）
1
7
=
n
7
?a n=
7
n
…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查猜想、證明的推理方法，考查數(shù)學(xué)歸納法證明命題．注意證明的步驟的應(yīng)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某校100名學(xué)生期中考試語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]
（1）求圖中a的值并計(jì)算[70，100]的人數(shù)；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

解關(guān)于x的不等式：（x-3）（x+4）≥0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)g（x）=2x-2+1，求g-1（x）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)y=1-2a-2ax+2x2（-1≤x≤1）的最小值為f（a），求f（a）的表達(dá)式，并指出當(dāng)a∈[-3，0]時(shí)，函數(shù)M=log
1
3
f（a）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱線長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=
2
2
．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）求證：AC⊥BE；
（Ⅲ）三棱錐A-BEF的體積是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由（棱錐的體積V=
1
3
Sh）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知f（
x
+1）=x+2
x
，求f（x）解析式
（2）已知f（x）+2f（-x）=2x+1，求f（x）解析式
（3）若f（x）是二次函數(shù)，且滿足f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，求：
（1）兩數(shù)之和為6的概率；
（2）兩數(shù)之積是6的倍數(shù)的概率；
（3）以第一次向上點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo)x，第二次向上的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo)y的點(diǎn)（x，y）在圓x2+y2=15的內(nèi)部的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

比較(-
2
)
3
7
，(-
3
)
3
7
，(-
5
)
3
7
的大小：
 
．

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