Question

20．若正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為1，AB₁與底面ABCD成45°角，則D₁到平面ACB₁的距離為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． 1
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 說明幾何體是正方體，然后證明BD₁⊥平面AB₁C，再計算BO的長，即可求得D₁到平面ACB₁的距離．

解答 解：正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為1，AB₁與底面ABCD成45°角，
可知幾何體是正方體，
連接BD₁，BD，則AC⊥BD，AC⊥B₁B
∵BD∩B₁B=B，∴AC⊥平面BD₁，
∵BD₁?平面BD₁，∴AC⊥BD₁，
同理AB₁⊥BD₁，
∵AC∩AB₁=A，∴BD₁⊥平面AB₁C
設(shè)垂足為O，在三棱錐B₁-ABC中，$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$a×a×a=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2a²×BO
∴BO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a
∵BD₁=$\sqrt{3}$a
∴D₁O=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a
即D₁到平面ACB₁的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a
故選：C．

點評 本題考查點到面的距離的計算，考查線面垂直的證明與三棱錐的體積，屬于中檔題．