Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的AB的中點M的坐標為（2，1），則直線AB的方程為x+2y-4=0．

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則2=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$1=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k．代入橢圓方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{16}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{16}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1．相減化簡整理即可得出．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則2=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$1=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k．
代入橢圓方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{16}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{16}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1．
∴$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{16}$+$\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}}{4}$=0，
∴$\frac{4}{16}+\frac{2k}{4}$=0，解得k=-$\frac{1}{2}$．
∴直線AB的方程為：y-1=$-\frac{1}{2}$（x-2），
化為：x+2y-4=0．
故答案為：x+2y-4=0．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、“點差法”、中點坐標公式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．