【題目】已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過作垂直于軸的直線,并在軸上方交雙曲線于點(diǎn),且.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過雙曲線上一點(diǎn)作兩條漸近線的垂線,垂足分別是和,試求的值;
(3)過圓上任意一點(diǎn)作切線交雙曲線于兩個(gè)不同點(diǎn),中點(diǎn)為,證明:.
【答案】(1);(2);(3)見解析
【解析】分析:(1) 在直角三角形中,,解得,從而可得雙曲線的方程;(2)確定兩條漸近線方程,設(shè)雙曲線上的點(diǎn),求出點(diǎn)到兩條漸近線的距離,利用在雙曲線上,及向量的數(shù)量積公式,結(jié)合即可求得結(jié)論;(3)分類討論: ①當(dāng)切線的斜率存在,設(shè)切錢的方程代入雙曲線中,利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線距離公式,結(jié)合直線與圓相切,可得成立;②當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),求出的坐標(biāo),即可得到結(jié)論.
詳解:(1)根據(jù)已知條件得,∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為,
∵軸,∴
在直角三角形中,,解得,
于是所求雙曲線方程為.
(2)根據(jù)(1)易得兩條雙曲線漸近線方程分別為,,設(shè)點(diǎn),則,
又在雙曲線上,所以
于是.
(3)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),則,于是,此時(shí),即命題成立.
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)的方程為切線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為,
于是有消去化成關(guān)于的二次為.
∵為的中點(diǎn),∴
即坐標(biāo)為
則,
又點(diǎn)到直線的距離為,.代入得:
,,故得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,,,為的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)若點(diǎn)在棱上,且,求點(diǎn)到平面的距離.
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【題目】下列命題為真命題的是( )
A.若為真命題,則為真命題;
B.“”是“”的充分不必要條件;
C.命題“若,則”的否命題為“若,則”;
D.已知命題,使得,則,使得。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面,,,,且,,點(diǎn)在線段上.
(1)求證:平面;
(2)若二面角的大小為,試確定點(diǎn)的位置.
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【題目】已知定點(diǎn),定直線: ,動(dòng)圓過點(diǎn),且與直線相切.
(Ⅰ)求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)的直線與曲線相交于, 兩點(diǎn),分別過點(diǎn), 作曲線的切線, ,兩條切線相交于點(diǎn),求外接圓面積的最小值.
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【題目】
已知函數(shù),其中是常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)若存在實(shí)數(shù),使得關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求的取值范圍.
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【題目】
已知函數(shù),其中是常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)若存在實(shí)數(shù),使得關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義域?yàn)?/span>的單調(diào)函數(shù)是奇函數(shù),當(dāng)時(shí),.
(1)求的解析式.
(2)若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù)f(x),x∈(0,+∞),f[f(x)﹣lnx]=1,則方程f(x)﹣f′(x)=1的解所在區(qū)間是 ( 。
A. (2,3) B. C. D. (1,2)
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