Question

已知二次函數f（x）的二次項系數為a，且不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有兩個相等的實數根，求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）＜0的解集為R，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）f（x）為二次函數且二次項系數為a，把不等式f（x）＞-2x變形為f（x）+2x＞0因為它的解集為（1，3），則可設f（x）+2x=a（x-1）（x-3）且a＜0，解出f（x）；又因為方程f（x）+6a=0有兩個相等的根，利用根的判別式解出a的值得出f（x）即可；
（2）因為f（x）為開口向下的拋物線，利用公式當x=-

b

2a

時，最大值為

4ac-b2

4a

＜0和a＜0聯立組成不等式組，求出解集即可．

解答： 解：（1）∵f（x）+2x＞0的解集為（1，3）
∴f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a＜0
∴f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax²-（2+4a）x+3a①
由方程f（x）+6a=0，得：ax²-（2+4a）x+9a=0②
∵方程②有兩個相等的實數根
∴△=[-（2+4a）]²-4a•9a=0，即5a²-4a-1=0
解得：a=1或a=-

1

5

由于a＜0，舍去a=1．將a=-

1

5

代入①得：f（x）的解析式是f(x)=-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5

．
（2）由f（x）=ax²-（2+4a）x+3a
故f（x）的最大值為-

a2+4a+1

a

若不等式f（x）＜0的解集為R，
則-

a2+4a+1

a

＜0，由a＜0，
可得a²+4a+1＜0
解得-2-

3

＜a＜-2+

3

故不等式f（x）＜0的解集為R時，a的取值范圍為（-2-

3

，-2+

3

）

點評：本小題主要考查二次函數的性質、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程的數學思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．