Question

已知函數(shù)f（x）=（sinx-cosx）

sin2x

sinx

．
（1）求f（x）的定義域；
（2）求f（x）的最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接利用分式的分母不為0，求出函數(shù)的定義域即可．
（2）．由此求得函數(shù)f（x）的定義域．再利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，由此根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得最大值．

解答： 解：（1）由函數(shù)的解析式可得 sinx≠0，所以x≠kπ，k∈Z．
所以函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠kπ，k∈Z}．
（2）函數(shù)f（x）=（sinx-cosx）

sin2x

sinx

=2cosx（sinx-cosx）=sin2x-2cos²x=sin2x-cos2x-1=

2

sin（2x-

π

4

）-1
因為{x|x≠kπ，k∈Z}，∴2x-

π

4

≠2kπ-

π

4

，k∈Z．
故當(dāng)2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z時，
即x=kπ+

3π

8

時，函數(shù)f（x）取得最大值為：

2

-1．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．