Question

12．已知四面體ABCD，下列命題：
①若AB⊥CD，則AC⊥BD；
②若AC=BC=AD=BD，則AB⊥CD；
③若點E，F(xiàn)分別在BC，BD上，且CD∥平面AEF，則EF是△BCD的中位線；
④若E是CD中點，則CD⊥平面ABE；
⑤在棱AB上任取一點P，使三棱錐P-BCD的體積與四面體ABCD的體積比大于$\frac{1}{3}$的概率為$\frac{2}{3}$．
其中正確的命題的序號是②⑤（填寫所有真命題序號）

Answer 1

分析 利用特例判斷①的正誤；利用直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理判斷②的正誤；利用直接推理判斷③的正誤；利用特例判斷④的正誤；利用幾何概型求解判斷⑤的正誤；

解答 解：①如圖：（1）四面體滿足AB⊥CD，但是AC⊥BD不成立；①不正確；

②如圖：（2），AC=BC=AD=BD，去AB的中點E，連結(jié)EC，ED，可知AB⊥平面CDE，則AB⊥CD；②正確；

③點E，F(xiàn)分別在BC，BD上，且CD∥平面AEF，則EF∥CD，EF不一定是△BCD的中位線；所以③不正確；
④如圖（4），若E是CD中點，則CD⊥平面ABE，顯然不正確；

⑤在棱AB上任取一點P，使三棱錐P-BCD的體積與四面體ABCD的體積比大于$\frac{1}{3}$，則P到B的距離大于$\frac{1}{3}$，
兩個棱錐的底面面積相同，所以所求的概率為$\frac{2}{3}$．正確．
故答案為：②⑤．

點評 本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，棱錐的特征以及直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何概型的求法，考查計算能力以及空間想象能力．