Question

17．已知正三棱錐P-ABC中，M，N分別是AB，AP的中點，若MN⊥CN，則此正三棱錐的側面積與底面ABC的面積之比為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出圖形，結合圖形，設出正三棱錐P-ABC的底面邊長為a，側棱長為b，
利用邊角關系求出a、b的關系，計算三棱錐的側面積與底面ABC的面積之比．

解答 解：根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示；
正三棱錐P-ABC中，M、N分別是AB和AP的中點，
且MN⊥CN，
連接CM、BN，過點N作NK⊥AB，垂足為K；
設AB=a，PA=b，
則MN=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$b，
MC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a；
∴NC²=MC²-MN²=$\frac{3}{4}$a²-$\frac{1}{4}$b²，
NK=$\frac{1}{2}$PM=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{PA}^{2}-{AM}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$，
BK=$\frac{3}{4}$AB=$\frac{3}{4}$a；
∴BN²=NK²+BK²=$\frac{1}{4}$（b²-$\frac{1}{4}$a²）+$\frac{9}{16}$a²=$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{4}$b²，
∴$\frac{3}{4}$a²-$\frac{1}{4}$b²=$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{4}$b²，
化簡得b²=$\frac{1}{2}$a²；
∴$\frac{{S}_{側面積}}{{S}_{底面積}}$=$\frac{3{S}_{△PAB}}{{S}_{△ABC}}$
=$\frac{3×\frac{1}{2}•AB•PM}{\frac{1}{2}•AB•MC}$=3×$\frac{PM}{MC}$
=3×$\frac{\sqrt{^{2}-{（\frac{a}{2}）}^{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\sqrt{3}$；
即此正三棱錐的側面積與底面ABC的面積之比為$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了空間中的平行與垂直關系的應用問題，也考查了求三棱錐的側面積與底面積的應用問題，考查了計算能力與邏輯推理能力，是綜合性題目．