【題目】設(shè)數(shù)列A: , ,… (N≥2)。如果對(duì)小于n(2≤n≤N)的每個(gè)正整數(shù)k都有 < ,則稱n是數(shù)列A的一個(gè)“G時(shí)刻”。記“G(A)是數(shù)列A 的所有“G時(shí)刻”組成的集合。
(1)對(duì)數(shù)列A:-2,2,-1,1,3,寫(xiě)出G(A)的所有元素;
(2)證明:若數(shù)列A中存在 使得 > ,則G(A) ;
(3)證明:若數(shù)列A滿足 - ≤1(n=2,3, …,N),則GA.的元素個(gè)數(shù)不小于 - 。
【答案】
(1)
解:
(2)
證明:因?yàn)榇嬖? ,設(shè)數(shù)列 中第一個(gè)大于 的項(xiàng)為 ,則 ,
其中 ,所以 ,
(3)
證明:設(shè) 數(shù)列的所有“ 時(shí)刻”為 ,
對(duì)于第一個(gè)“ 時(shí)刻” ,有 , ,則
.
對(duì)于第二個(gè)“ 時(shí)刻” ,有 ( ).
則 .
類似的 ,…, .
于是, .
對(duì)于 ,若 ,則 ;
若 ,則 ,否則由⑵,知 中存在“ 時(shí)刻”,與只有 個(gè)“ 時(shí)刻”矛盾.
從而, ,證畢
【解析】(1)結(jié)合“G時(shí)刻”的定義進(jìn)行分析;(2)可以采用假設(shè)法和遞推法進(jìn)行分析;(3)可以采用假設(shè)法和列舉法進(jìn)行分析
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)學(xué)歸納法的定義是解答本題的根本,需要知道數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某小組共10人,利用假期參加義工活動(dòng),已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4,. 現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).
(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率;
(2)設(shè) 為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量 的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
(1)討論函數(shù) 的單調(diào)性,并證明當(dāng) >0時(shí),
(2)證明:當(dāng) 時(shí),函數(shù) 有最小值.設(shè)g(x)的最小值為 ,求函數(shù) 的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠利用輻射對(duì)食品進(jìn)行滅菌消毒,現(xiàn)準(zhǔn)備在該廠附近建一職工宿舍,并對(duì)宿舍進(jìn)行防輻射處理,建房防輻射材料的選用與宿舍到工廠距離有關(guān).若建造宿舍的所有費(fèi)用(萬(wàn)元)和宿舍與工廠的距離的關(guān)系為: .為了交通方便,工廠與宿舍之間還要修一條簡(jiǎn)易便道,已知修路每公里成本為萬(wàn)元,工廠一次性補(bǔ)貼職工交通費(fèi)萬(wàn)元.設(shè)為建造宿舍、修路費(fèi)用與給職工的補(bǔ)貼之和.
⑴求的表達(dá)式;
⑵宿舍應(yīng)建在離工廠多遠(yuǎn)處,可使總費(fèi)用最小,并求最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x +bx,曲線y=f(x)在點(diǎn) (2,f(2))處的切線方程為y=(e-1)x+4,
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一點(diǎn)A(2,4).
(1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點(diǎn),且BC=OA,求直線l的方程;
(3)設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q,使得 ,求實(shí)數(shù)t的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,M,N,K分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中點(diǎn).
求證:(1)AN∥平面A1MK;
(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足a3=2,前3項(xiàng)和為S3=.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)雙曲線x2﹣ =1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2 , 若點(diǎn)P在雙曲線上,且△F1PF2為銳角三角形,則|PF1|+|PF2|的取值范圍是 .
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