Question

【題目】設函數(shù)f(x)=x +bx，曲線y=f(x)在點 (2,f(2))處的切線方程為y=(e-1)x+4，
（1）求a,b的值；
（2）求f(x)的單調(diào)區(qū)間。

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∴

∵曲線 在點 處的切線方程為

∴ ，

即 ①

②

由①②解得： ，

（2）

解：∵a=2，b=e；

∴f（x）=xe2﹣x+ex，

∴f′（x）=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=（1﹣x）e2﹣x+e，

f″（x）=﹣e2﹣x﹣（1﹣x）e2﹣x=（x﹣2）e2﹣x，

由f″（x）＞0得x＞2，由f″（x）＜0得x＜2，

即當x=2時，f′（x）取得極小值f′（2）=（1﹣2）e2﹣2+e=e﹣1＞0，

∴f′（x）＞0恒成立，

即函數(shù)f（x）是增函數(shù)，

即f（x）的單調(diào)區(qū)間是（﹣∞，+∞）．

【解析】（1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)的切線斜率以及f（2），建立方程組關系即可求a，b的值；（2）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
【考點精析】通過靈活運用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題．