Question

已知函數(shù)f（x）的定義域中R，等式f（1-x）=f（1+x）與f（x-1）=f（x-3）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=x²，那么f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（注：以下各選項(xiàng)中k∈z）（　�。�

• A、[2k，2k+1]
• B、[2k-1，2k]
• C、[2k，2k+2]
• D、[2k-2，2k]

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件先判斷出函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸，再判斷出函數(shù)為周期函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出答案．

解答： 解：∵f（1-x）=f（1+x），
∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=1，
∵f（x-1）=f（x-3），
令x=x+3，
得f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)f（x）為以2周期的周期函數(shù)，
∵x∈[1，2]時(shí)，f（x）=x²，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減．
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[2k，2k+1]（k∈Z）．
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性，單調(diào)性，周期性，關(guān)鍵求出是函數(shù)為周期函數(shù)，屬于中檔題．