Question

【題目】已知橢圓和雙曲線有共同焦點，是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為（ ）

A. 3B. 2C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

設(shè)橢圓長半軸長為a1，雙曲線的半實軸長a2，焦距2c．根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根據(jù)余弦定理可得到，利用基本不等式可得結(jié)論．

如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的半實軸長為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，

設(shè)|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，則：在△PF1F2中，由余弦定理得，

4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos

∴化簡得：a12+3a22＝4c2，該式可變成：，

∴≥2

∴，

故選：D．