Question

18．橢圓$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1有公共的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，再根據(jù)橢圓、雙曲線的定義和性質(zhì)，可得|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{6}$，|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt{3}$，求得|PF₁|和|PF₂|的值，根據(jù)|F₁F₂|=4，利用余弦定理可得cos∠F₁PF₂的值．

解答 解：由題意可得焦點(diǎn)F₁（2，0）、F₂（-2，0），∴3+b²=4，求得b²=1，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，即雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1．
不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，
再根據(jù)橢圓、雙曲線的定義和性質(zhì)，可得|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{6}$，|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt{3}$，
可得|PF₁|=$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$，|PF₂|=$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$，且|F₁F₂|=4．
再由余弦定理可得cos∠F₁PF₂=$\frac{{{PF}_{1}}^{2}{+{PF}_{2}}^{2}{{{-F}_{1}F}_{2}}^{2}}{2{PF}_{1}•{PF}_{2}}$=$\frac{{（\sqrt{6}+\sqrt{3}）}^{2}{+（\sqrt{6}-\sqrt{3}）}^{2}{-4}^{2}}{2（\sqrt{6}+\sqrt{3}）•（\sqrt{6}-\sqrt{3}）}$=$\frac{1}{3}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓、雙曲線的定義和性質(zhì)及其標(biāo)準(zhǔn)方程，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．