Question

已知⊙和點(diǎn).

(Ⅰ)過點(diǎn)向⊙引切線，求直線的方程；
(Ⅱ)求以點(diǎn)為圓心，且被直線截得的弦長(zhǎng)為4的⊙的方程；
(Ⅲ)設(shè)為（Ⅱ）中⊙上任一點(diǎn)，過點(diǎn)向⊙引切線，切點(diǎn)為. 試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)，使得為定值？若存在，請(qǐng)舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

(Ⅰ) ；（Ⅱ） 
（Ⅲ）可以找到這樣的定點(diǎn)，使得為定值. 如點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，比值為；
點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，比值為

試題分析：(Ⅰ)設(shè)切線方程為 ，易得，解得……4分
∴切線方程為 
（Ⅱ）圓心到直線的距離為,設(shè)圓的半徑為，則,
∴⊙的方程為 
（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，相應(yīng)的定值為，
根據(jù)題意可得，∴,
即  （*），
又點(diǎn)在圓上∴，即，代入（*）式得：
  
若系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，則等式恒成立，∴，
解得 
∴可以找到這樣的定點(diǎn)，使得為定值. 如點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，比值為；
點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，比值為
點(diǎn)評(píng)：中檔題，涉及圓的題目，在近些年高考題中是屢有考查，求圓標(biāo)準(zhǔn)方程，研究直線與圓的位置關(guān)系。求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要考慮定義法、待定系數(shù)法。涉及直線于圓位置關(guān)系問題，往往應(yīng)用韋達(dá)定理或充分利用“特征三角形”，通過半徑、弦長(zhǎng)一半、圓心到弦的距離，建立方程（組）。