Question

16．已知圓C的圓心C在拋物線y²=8x的第一象限部分上，且經(jīng)過該拋物線的頂點和焦點F
（1）求圓C的方程
（2）設(shè)圓C與拋物線的準線的公共點為A，M是圓C上一動點，求△MAF的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）方法一、運用待定系數(shù)法，設(shè)出圓的方程，由條件得到方程，解方程，可得a，b，r，進而得到圓的方程；
方法二、由題意可得圓心在線段OF的中垂線x=1上，代入拋物線方程可得圓心坐標，半徑r，進而得到圓的方程；
（2）由題知：當點M在AF的中垂線與圓的上交點處時，△MAF的面積S最大．由拋物線的定義可得|AF|，求得圓心C到直線AF的距離，即可得到所求面積的最大值．

解答 解：（1）解法一：設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
拋物線y²=8x的頂點為（0，0），焦點F（2，0），
由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{^{2}=8a}\\{（2-a）^{2}+^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$
又a²+b²=r²，
解得：a=1，b=2$\sqrt{2}$，r=3，
所以圓的方程是：（x-1）²+（y-2$\sqrt{2}$）²=9；
解法二：由題知，圓心在線段OF的中垂線x=1上，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得x=1，y=2$\sqrt{2}$，
則圓心C為（1，2$\sqrt{2}$），半徑r=|CF|=3，
所以圓的方程是：（x-1）²+（y-2$\sqrt{2}$）²=9；
（2）由題知：當點M在AF的中垂線與圓的上交點處時，△MAF的面積S最大．
由拋物線定義知：圓C與拋物線的準線x=-2相切，
切點A（-2，2$\sqrt{2}$），|AF|=2$\sqrt{6}$，
kAF=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直線AF的方程是：y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-2）即$\sqrt{2}$x+y-2$\sqrt{2}$=0，
圓心C到直線AF的距離d₁=$\frac{|\sqrt{2}+4\sqrt{2}-2\sqrt{2}|}{\sqrt{6}}$=$\sqrt{3}$，
點M到直線AF的最大距離d=d₁+r=$\sqrt{3}$+3，
則S_max=$\frac{1}{2}$|AF|•d=3（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考查圓的方程的求法，拋物線的定義和方程、性質(zhì)的運用，屬于中檔題．