Question

(09 年石景山區(qū)統(tǒng)一測(cè)試)（14分）

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，過(guò)其右焦點(diǎn)且傾斜角為的

直線被雙曲線截得的弦的長(zhǎng)為．

   （Ⅰ）求此雙曲線的方程；

   （Ⅱ）若直線：與該雙曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn)、，且以線段為直徑

　　   　的圓過(guò)原點(diǎn)，求定點(diǎn)到直線的距離的最大值，并求此時(shí)直線的方程．

Answer 1

解析：（Ⅰ）設(shè)雙曲線的方程是（，），

則由于離心率，所以，．

從而雙曲線的方程為，且其右焦點(diǎn)為（，0）．

把直線的方程代入雙曲線的方程，消去并整理，得

．

設(shè)，，則，．

由弦長(zhǎng)公式，得=6．

    所以，．

　　從而雙曲線的方程是．                          ………………5分

（Ⅱ）由和，消去，得．

     根據(jù)條件，得且.

　　 ∴ .

設(shè)，，則，.

由于以線段為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以.

即 .

從而有，即. …………8分

∴ 點(diǎn)到直線：的距離為:

   .                  ………………10分

由 ≥，解得 且．

由 ，解得 .

所以當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí).

因此的最大值為，此時(shí)直線的方程是.     ………………14分