Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓的方程為.

（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）當(dāng)時(shí)，與相交于，兩點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1)直線的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為.

(2).

【解析】

試題（1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求 的普通方程和C的直角坐標(biāo)方程；（2）由（1）可知圓心坐標(biāo)為C（2，0），半徑為2，直線過點(diǎn)A（3，1），CA⊥PQ時(shí)，可求|PQ|的最小值．

試題解析：（1）由直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），

消去參數(shù)得，，

即直線的普通方程為，

由圓的極坐標(biāo)方程為，得，

將代入(*)得， ，

即的直角坐標(biāo)方程為.

（2）將直線的參數(shù)方程代入得，，

，

設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，

則，

所以，

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.

【注：未能指出取得最小值的條件，扣1分】

解法二：（1）同解法一

（2）由直線的參數(shù)方程知，直線過定點(diǎn)，

當(dāng)直線時(shí)，線段長(zhǎng)度最小.

此時(shí)，，

所以的最小值為.

解法三：

（1）同解法一

（2）圓心到直線的距離，

，

又因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.

又，

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.