Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在x=2處切線的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時，求f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f(x)=x-lnx，f′(x)=

x-1

x

(x＞0)，由此能求出曲線y=f（x）在x=2處切線的斜率．
（Ⅱ）f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

(x＞0)，由此根據(jù)a≤0，a＞0進(jìn)行分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出當(dāng)a≤0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

1

a

)，單調(diào)遞增區(qū)間為(

1

a

，+∞)．
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）得到的結(jié)論，得到當(dāng)0＜a＜

1

e

時，f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為ae-1，當(dāng)a≥

1

e

，f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為1+lna．

解答： （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f(x)=x-lnx，f′(x)=

x-1

x

(x＞0)，（2分）
故曲線y=f（x）在x=2處切線的斜率為

1

2

．（4分）
（Ⅱ）f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

(x＞0)．（6分）
①當(dāng)a≤0時，由于x＞0，故ax-1＜0，f'（x）＜0．
所以，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．（8分）
②當(dāng)a＞0時，由f'（x）=0，得x=

1

a

．
在區(qū)間(0，

1

a

)上，f'（x）＜0，在區(qū)間(

1

a

，+∞)上，f'（x）＞0．
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

1

a

)，
單調(diào)遞增區(qū)間為(

1

a

，+∞)．（10分）
綜上，當(dāng)a≤0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

1

a

)，單調(diào)遞增區(qū)間為(

1

a

，+∞)．（11分）
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）得到的結(jié)論，
當(dāng)

1

a

＞e，即0＜a＜

1

e

時，
f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為f（e），f（e）=ae-1．（13分）
當(dāng)

1

a

≤e，即a≥

1

e

時，f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為f(

1

a

)，
f(

1

a

)=1-ln

1

a

=1+lna．
綜上，當(dāng)0＜a＜

1

e

時，f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為ae-1，
當(dāng)a≥

1

e

，f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為1+lna．（14分）

點評：本題考查切線斜率的求法，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查函數(shù)的極值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．