Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁+

a2

2

+…+

an

n

=2ⁿ-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

2n-1

(n+1)an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a₁+

a2

2

+…+

an

n

=2ⁿ-1⇒a₁+

a2

2

+…+

an-1

n-1

=2^n-1-1（n≥2），兩式相減即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=n•2^n-1，利用裂項(xiàng)法可求得b_n=

2n-1

(n+1)an

=

2n-1

n(n+1)2n-1

=

1

n(n-1)

=

1

n

-

1

n+1

，從而可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁+

a2

2

+…+

an

n

=2ⁿ-1，①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+

a2

2

+…+

an-1

n-1

=2^n-1-1，②
①-②得：

an

n

=2^n-1，
∴a_n=n•2^n-1；
（Ⅱ）∵b_n=

2n-1

(n+1)an

=

2n-1

n(n+1)2n-1

=

1

n(n-1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查數(shù)列的遞推關(guān)系的應(yīng)用，突出裂項(xiàng)法求和的考查，屬于中檔題．