Question

如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥CD，∠DAB=60°
FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．
（1）求證：平面ABCD⊥平面AED；
（2）直線AF與面BDF所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出AD⊥BD，又AE⊥BD，從而BD⊥平面AED，由此能證明平面ABCD⊥平面AED．
（2）連結(jié)AC，由CA，CB，CF兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AF與面BDF所成角的余弦值．

解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，
∴∠ADC=∠BCD=120°，
又CB=CD，∴∠CDB=30°，∴∠ADB=90°，AD⊥BD，
又AE⊥BD，且AE∩AD=A，AE，AD?平面AED，
∴BD⊥平面AED，∴平面ABCD⊥平面AED．
（2）解：連結(jié)AC，由（1）知AD⊥BD，∴AC⊥BC，
又FC⊥平面ABCD，∴CA，CB，CF兩兩垂直，
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CB=1，
則A（

3

，0，0），B（0，1，0），D（

3

2

，-

1

2

，0）
F（0，0，1），∴

BD

=(

3

2

，-

3

2

，0)，

BF

=(0，-1，1)，

AF=

(-

3

，0，1)，
設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為

m

=(x，y，z)，
則

m • BD = 3 2 x- 3 2 y=0 m • BF =-y+z=0

，取z=1，得

m

=(

3

，1，1)，
則cos＜

AF

，

m

＞=-

5

5

∴cosθ=

2 5

5

．
∴直線AF與面BDF所成角的余弦值為

2 5

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．