Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2a_n+2，n∈N^*
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n+1+2=a_n+4=2（a_n+2），且a₁+2=4，由此能證明數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，從而求出a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（Ⅱ）由na_n=n•2ⁿ⁺¹-2n，利用錯位相減法和分組求和法能求出數(shù)列{na_n}的前n項和S_n．

解答： （Ⅰ）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2a_n+2，n∈N^*，
∴a_n+1+2=a_n+4=2（a_n+2），且a₁+2=4，
∴

an+1+2

an+2

=2，
∴數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，公比為2，首項為4，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．…（6分）
（Ⅱ）解：由（1）知na_n=n•2ⁿ⁺¹-2n，
設(shè){n•2ⁿ⁺¹}的前n項和為T_n，
Tn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，
2Tn=1•23+2•24+3•25+…+n•2n+2，
兩式相減，得-T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=

4(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺²，
∴T_n=4+（n-1）•2ⁿ⁺²，
S_n=a₁+2a₂+…+na_n
=（n-1）2ⁿ⁺²+4-n（n+1）．…（12分）

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．