Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知a=3，cos

A+C

2

=

3

3

．
（1）求cosB的值；
（2）分別求b的取值范圍及

AB

•

AC

的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算

專題：解三角形

分析：（1）已知等式左邊中的角度變形后，利用誘導(dǎo)公式求出sin

B

2

的值，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式求出cosB的值即可；
（2）由cosB的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，利用正弦定理列出關(guān)系式，根據(jù)sinA的值域即可確定出b的范圍；利用余弦定理列出關(guān)系式，將a，cosB的值代入，整理得到關(guān)系式，利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡

AB

•

AC

，再利用余弦定理化簡后，將得出關(guān)系式代入，利用完全平方式的非負性即可確定出范圍．

解答： 解：（1）∵cos

A+C

2

=cos

π-B

2

=cos（

π

2

-

B

2

）=sin

B

2

=

3

3

，
∴cosB=1-2sin²

B

2

=

1

3

；
（2）∵cosB=

1

3

，
∴sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

，
∵a=3，sinB=

2 2

3

，0＜sinA≤1，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：b=

asinB

sinA

=

3× 2 2 3

sinA

=

2 2

sinA

≥2

2

；
∵a=3，cosB=

1

3

，
∴由余弦定理得：b²=9+c²-2c，即b²-9=c²-2c，
∵（c-

1

2

）²≥0，即c²-c+

1

4

≥0，
則

AB

•

AC

=bc•cosA=bc•

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-a2

2

=

2c2-2c

2

=c²-c≥-

1

4

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的值域，以及平面向量的數(shù)量積運算，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．