Question

等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，b₁=2，且b₂S₂=32，b₃S₃=120．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

S3b3=(9+3d)•2q2=120 S2b2=(6+d2q=32

，由此能求出a_n=3+2（n-1）=2n+1，bn=2n．
（2）由S_n=n（n+2），得

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），由此利用裂項(xiàng)法能求出數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則d為正整數(shù)，
∴a_n=3+（n-1）d，bn=2qn-1，
依題意，得

S3b3=(9+3d)•2q2=120 S2b2=(6+d2q=32

，
解得d=2，q=2，或d=-

6

5

，q=

10

3

（不合題意，舍）
故a_n=3+2（n-1）=2n+1，bn=2n．
（2）∵S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），
∴

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3n2+5

4(n+1)(n+2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．