Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx的導(dǎo)函數(shù)為h（x），f（x）的圖象在點（-2，f（-2））處的切線方程為3x-y+4=0，且h′（-

2

3

）=0，直線y=x是函數(shù)g（x）=kxe^x的圖象的一條切線．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及k的值；
（Ⅱ）若2f（x）≤g（x）-m+4x+1對于任意x∈[0，+∞）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及切線方程，建立方程關(guān)系，即可求出a，b，c的取值，
（Ⅱ）將不等式2f（x）≤g（x）-m+4x+1對于任意x∈[0，+∞）恒成立，進(jìn)行參數(shù)分離，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+cx，
∴h（x）=f′（x）=3ax²+2bx+c，h′（x）=6ax+2b，
∵h(yuǎn)′（-

2

3

）=0，∴6a×（-

2

3

）+2b=0，即b=2a，①
∵f（x）的圖象在點（-2，f（-2））處的切線方程為3x-y+4=0，
∴當(dāng)x=-2時，f（-2）=-2，且切線斜率f′（-2）=3，
則f（-2）=-8a+4b-2c=-2，②，
f′（-2）=12a-4b+c=3，③，
聯(lián)立解得a=

1

2

，b=1，c=1，即 f(x)=

1

2

x3+x2+x，
∵直線y=x是函數(shù)g（x）=kxe^x的圖象的一條切線．
∴函數(shù)在原點處的切線斜率為1，
∵g′（x）=k（e^x+xe^x），∴g′（0）=k=1．
（Ⅱ）若2f（x）≤g（x）-m+4x+1對于任意x∈[0，+∞）恒成立，
則等價為x³+2x²+2x≤xe^x-m+4x+1對于任意x∈[0，+∞）恒成立，
即m≤-x³-2x²+2x+xe^x+1=x（e^x-x²-2x+2）+1恒成立，
則只需要求出x（e^x-x²-2x+2）+1在[0，+∞）上的最小值即可，
設(shè)m（x）=x（e^x-x²-2x+2），
則m′（x）=e^x-x²-2x+2+x（e^x-2x-2）
∵m′（0）=1+2＞0，m′（1）=2e-5＜0，
∴m′（x）=0，必有一個實根t，且t∈（0，1），m′（t）=0，
當(dāng)x∈（0，t）時，m′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（t，+∞）時，m′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
故m（x）在x=t時取得極小值同時也是最小值，
m（x）的最小值為m（t）=t（e^t-t²-2t+2），
∵當(dāng)t＞0時，e^t-t²-2t+2=e^t-（t+1）²+3＞0，
∴m（t）=t（e^t-t²-2t+2）＞0，即m（x）＞0，
則x（e^x-x²-2x+2）+1＞1，
即m≤1．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題是解決本題的關(guān)鍵．運算量大，綜合性較強．