Question

已知函數(shù)f（x）=x-1-alnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0成立，求實數(shù)a的取值集合．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

，x∈（0，+∞），再討論a的取值范圍，從而求出其單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由題意得：f（x）_min≥0，求出g（a）_min=g（1）=0，故a-1-alna≥0成立的解只有a=1，當a≤1，不合題意，問題得解．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

，x∈（0，+∞），
當a≤0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞），
當a＞0時，令f′（x）=0，得x=0，
x∈（0，a）時，f（x）單調(diào)遞減，
x∈（a，+∞）時，f（x）單調(diào)遞增；
綜上：a≤0時，f（x）在（0，+∞）上遞增，無減區(qū)間，
當a＞0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞）；
（Ⅱ）由題意得：f（x）_min≥0，
由（Ⅰ）得，當a＞0時，f（x）_min=f（a）=a-1-alna，
則f（a）=a-1-alna≥0，
令g（a）=a-1-alna，
可得g′（a）=-lna，
因此g（a）在（0，1）遞增，在（1，+∞）上遞減，
∴g（a）_min=g（1）=0，
故a-1-alna≥0成立的解只有a=1，
當a≤0，f（x）在（0，+∞）上遞增，
x→0，f（x）→-∞，故不合題意，
綜上：a的取值集合為{1}．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，滲透了分類討論思想，屬于中檔題．