Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求不等式f（x）＜1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用a=2，通過(guò)絕對(duì)值的幾何意義，直接求解不等式f（x）＜1的解集；
（Ⅱ）利用不等式f（x）+|x+1|的幾何意義，通過(guò)不等式在R上恒成立，求出表達(dá)式的最小值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）a=2，不等式f（x）＜1，化為|x-2|＜1，解得1＜x＜3．
不等式的解集為：{x|1＜x＜3}．
（Ⅱ）由f（x）=|x-a|，
設(shè)g（x）=f（x）+|x+1|，
即g（x）=|x-a|+|x+1|，
其幾何意義就是數(shù)軸上的點(diǎn)到a與-1的距離之和，
不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立，就是距離之和的最小值也大于3，
即|a+1|≥3，解得，a≥2或a≤-4，
∴a的取值范圍是（-∞，-4]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，理解“不等式f（x）+|x+1|≥3在R上恒成立”中的恒成立的含義是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，是易錯(cuò)點(diǎn)，需求得表達(dá)式的最小值，屬于難題．