Question

已知向量

m

=（cos（x-

π

6

），0），

n

=（2，0），x∈R，函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）求f（π）的值；
（3）若f（α+

2π

3

）=

6

5

，α∈（-

π

2

，0），求f（2α）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量是數(shù)量積公式，可得函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）代入函數(shù)f（x）的表達(dá)式，可求f（π）的值；
（3）由f（α+

2π

3

）=

6

5

，α∈（-

π

2

，0），求出sinα=-

3

5

，cosα，再利用角的變換，即可求f（2α）的值．

解答： 解：（1）∵

m

=(cos(x-

π

6

)，0)，

n

=(2，0)，x∈R，
∴f(x)=

m

•

n

=2cos(x-

π

6

)，即函數(shù)f(x)=2cos(x-

π

6

)．（3分）
（2）f(π)=2cos(π-

π

6

)=-2cos

π

6

=-

3

（6分）
（3）∵f(α+

2π

3

)=2cos(α+

2π

3

-

π

6

)=2cos(α+

π

2

)=-2sinα，
又f(α+

2π

3

)=

6

5

，∴-2sinα=

6

5

，即sinα=-

3

5

．（7分）
∵α∈(-

π

2

，0)，∴cosα=

1-sin2α

=

1-(- 3 5 )2

=

4

5

．（8分）
∴sin2α=2sinαcosα=2×(-

3

5

)×

4

5

=-

24

25

，（9分）
cos2α=2cos2α-1=2×(

4

5

)2-1=

7

25

．（10分）
∴f(2α)=2cos(2α-

π

6

)=2cos2αcos

π

6

+2sin2αsin

π

6

（11分）
=2×

7

25

×

3

2

+2×(-

24

25

)×

1

2

=

7 3 -24

25

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查同角三角函數(shù)關(guān)系，考查角的變換，考查小時(shí)分析解決問題的能力，屬于中檔題．