Question

已知f（x）是定義在R上的函數(shù)且滿足f（x）＞-xf′（x），則關(guān)于x的不等式f（x-1）＞（x+1）f（x²-1）的解集為（　　）

• A、（-∞，1）
• B、（-1，1）
• C、（-∞，0）
• D、（0，1）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由題意可得 （ x•f（x））′＞0，故函數(shù)y=x•f（x）在R上是增函數(shù)，當(dāng)x-1＞0，即x＞1時(shí)，
不等式即（x-1）f（x-1）＞（x-1）（x+1）f（x²-1），故有x-1＞x²-1，當(dāng)x-1＜0，即x＜1時(shí)，
不等式即（x-1）f（x-1）＜（x-1）（x+1）f（x²-1），故有x-1＜x²-1，由此求得解集．

解答： 解：∵f（x）＞-xf′（x），
∴（ x•f（x））′＞0，故函數(shù)y=x•f（x）在R上是增函數(shù)．
當(dāng)x-1＞0，即x＞1時(shí)，
由不等式f（x-1）＞（x+1）f（x²-1）得：
（x-1）f（x-1）＞（x-1）（x+1）f（x²-1），
即（x-1）f（x-1）＞（x²-1）f（x²-1），
∴x-1＞x²-1，解得 0＜x＜1，
此時(shí)原不等式無(wú)解；
當(dāng)x-1＜0，即x＜1時(shí)，
由不等式f（x-1）＞（x+1）f（x²-1）得：
（x-1）f（x-1）＜（x-1）（x+1）f（x²-1），
即（x-1）f（x-1）＜（x²-1）f（x²-1），
∴x-1＜x²-1，解得 x＜0，或x＞1，
故 x＜0
則不等式f（x-1）＞（x+1）f（x²-1）的解集為{x|x＜0}，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題以積的導(dǎo)數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題．