Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，且b_n+1=b_n+2
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an=2n．{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2 的等差數(shù)列，所以b_n=2n-1．
（2）由a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴n=1時(shí)，a₁=2a₁-2，解得a₁=2，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴an=2n．
∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，且b_n+1=b_n+2，
∴{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2 的等差數(shù)列，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴Tn=1•2+3•22+…+(2n-1)•2n，①
2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=1×2¹+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2×

4(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹（3-2n）-6
∴T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．