Question

已知f（x）=3x²-2x，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

3

anan+1

，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求使得T_n＜

m

20

對(duì)所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出Sn=3n2-2n，由此能求出a_n=6n-5，n∈N^*．
（2）由bn=

3

anan+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，利用裂項(xiàng)求和法求出T_n=

1

2

-

1

2(6n+1)

＜

1

2

，由此能求出滿足要求的最小整數(shù)m=10．

解答： 解：（1）∵f（x）=3x²-2x，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
點(diǎn)（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
∴Sn=3n2-2n，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3-2=1，滿足上式，
∴a_n=6n-5，n∈N^*．
（2）由（1）得bn=

3

anan+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，
∴T_n=

1

2

(1-

1

7

+

1

7

-

1

13

+

1

13

-

1

19

+…+

1

6n-5

-

1

6n+1

)
=

1

2

-

1

2(6n+1)

＜

1

2

，
∴使得T_n＜

m

20

對(duì)所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m必須且僅須滿足

1

2

≤

m

20

，
即m≥10，∴滿足要求的最小整數(shù)m=10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查滿足要求的最小整數(shù)n的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．