如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,CD⊥平面PAD,PA⊥AD,PA=2,E分別PC的中點(diǎn),點(diǎn)P在棱PA上.
(Ⅰ)求證:AC⊥DE;
(Ⅱ)求三棱錐E-BDF的體積.
考點(diǎn):棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積
專題:綜合題,空間位置關(guān)系與距離
分析:(Ⅰ)連接EO,證明EO⊥平面ABCD,可得EO⊥AC,利用AC⊥BD,證明AC⊥平面BED,即可證明AC⊥DE;
(Ⅱ)證明AO即為點(diǎn)F與平面BED的距離,利用VE-BDF=VF-BDE,即可求三棱錐E-BDF的體積.
解答: (Ⅰ)證明:連接EO,
因?yàn)镻C的中點(diǎn),所以EO∥AP,
因?yàn)镃D⊥平面PAD,CD?平面ABCD,
所以平面ABCD⊥平面PAD,
因?yàn)槠矫鍭BCD∩平面PAD=AD,PA⊥AD,
所以PA⊥平面ABCD,
所以EO⊥平面ABCD,…(4分)
所以EO⊥AC,
又AC⊥BD,
所以AC⊥平面BED,
因?yàn)镋D?平面BED,
所以AC⊥DE.…(6分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知EO∥AP,EO?平面BED,
所以AP∥平面BED,
又AC⊥平面BED,
所以AO即為點(diǎn)F與平面BED的距離,AO=
2
2
,
而S△BED=
1
2
BD×EO=
2
2
,…(10分)
VE-BDF=VF-BDE=
1
3
×
2
2
×
2
2
=
1
6
…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查線面垂直的判定與性質(zhì),考查錐體體積的計(jì)算,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f(2+t)=f(2-t)成立,那么在函數(shù)值f(-1)、f(0)、f(2)、f(5)中,最小的一個(gè)不可能是(  )
A、f(5)B、f(2)
C、f(-1)D、f(1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)P={x|x=k•360°<x<k•360°+180°,k∈Z},Q={第一象限或第二象限角},R={x|x=k•360°+45°,k∈Z},S={x|k•360°+45°≤x<k•360°+•90°,k∈Z},則(  )
A、R?Q?S?P?
B、P?Q?S?R?
C、R?P?Q?S
D、R?S?Q?P

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,F(xiàn)是PD的中點(diǎn),E是線段AB上的點(diǎn).
(1)當(dāng)E是AB的中點(diǎn)時(shí),求證:AF∥平面PCE
(2)無論E點(diǎn)在線段AB上哪個(gè)位置,棱錐C-PDE的體積是否是一個(gè)定值?如果是,請(qǐng)求出棱錐C-PDE的體積;若不是,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)y=2sin(
π
6
-2x),x∈[
π
6
,
π
2
]的最大值并求最大值時(shí)x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2,前n項(xiàng)和Sn滿足an+1=Sn+2(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
(2)若bn=2log2an,對(duì)一切n∈N*,
1
b1b2
+
1
b2b3
+
1
b3b4
+…+
1
bnbn+1
<t恒成立,求實(shí)數(shù)t的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

三棱錐A-BCD中,∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°,AC=AD,且AB:AC=3:2.
(1)證明:AB⊥CD;
(2)證明:平面ACD⊥平面BCD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=p(x-
1
x
)-2lnx,g(x)=
2e
x
(p>1,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(1)若對(duì)任意x∈[2,e],不等式f(x)>g(x)恒成立,求p的取值范圍;
(2)若對(duì)任意x1∈[2,e],存在x2∈[2,e],使不等式f(x1)>g(x2)成立,求p的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

有驅(qū)蟲藥1618和1573各3杯,從中隨機(jī)取出3杯稱為一次試驗(yàn)(假定每杯被取到的概率相等),將1618全部取出稱為試驗(yàn)成功.
(1)列出一次試驗(yàn)的所有可能情況.
(2)求一次試驗(yàn)成功的概率.

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同步練習(xí)冊(cè)答案