Question

2．如圖所示，□ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，BM=$\frac{2}{3}$BC，AN=$\frac{1}{4}$AB，
（1）試用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$來(lái)表示$\overrightarrow{DN}$，$\overrightarrow{AM}$．
（2）AM交DN于O點(diǎn)，求AO：OM的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件便可得到$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}，\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow$，由向量加法、減法的幾何意義即可得到$\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow$；
（2）由D，O，N三點(diǎn)共線，便有$\overrightarrow{DO}=λ\overrightarrow{DN}$=$\frac{1}{4}λ\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow$，從而有$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{4}λ\overrightarrow{a}+（1-λ）\overrightarrow$，同理可得$\overrightarrow{AO}=μ\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}μ\overrightarrow$，這便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}λ=μ}\\{1-λ=\frac{2}{3}μ}\end{array}\right.$，可解出$μ=\frac{3}{14}$，這樣便能得出AO：OM=3：11．

解答 解：（1）$AN=\frac{1}{4}AB$；
∴$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{a}-\overrightarrow$；
$BM=\frac{2}{3}BC$；
∴$\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$；
∴$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow$；
（2）D，O，N三點(diǎn)共線，則$\overrightarrow{DO}，\overrightarrow{DN}$共線，存在實(shí)數(shù)λ，使$\overrightarrow{DO}=λ\overrightarrow{DN}=\frac{1}{4}λ\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow$；
∴$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow+\frac{1}{4}λ\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow$=$\frac{1}{4}λ\overrightarrow{a}+（1-λ）\overrightarrow$；
同理，A，O，M三點(diǎn)共線，存在μ，$\overrightarrow{AO}=μ\overrightarrow{AM}$=$μ\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}μ\overrightarrow$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}λ=μ}\\{1-λ=\frac{2}{3}μ}\end{array}\right.$；
解得$λ=\frac{6}{7}$，$μ=\frac{3}{14}$；
∴$\overrightarrow{AO}=\frac{3}{14}\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{OM}=\frac{11}{14}\overrightarrow{AM}$；
∴AO：OM=3：11．

點(diǎn)評(píng) 考查共線向量基本定理，向量加法、減法的幾何意義，以及平面向量基本定理，數(shù)乘的幾何意義．