Question

已知α，β均為銳角，且3sinα=2sinβ，3cosα+2cosβ=3，則α+2β的值為（　�。�

• A、

  π

  3

• B、

  π

  2

• C、

  2π

  3

• D、π

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：將已知兩等式分別平方，左右兩邊相加求出cos（α+β）的值，再由已知兩等式表示出sinβ與cosβ，代入化簡(jiǎn)得到的式子中求出cosα與cosβ的值，得到cos（α+β）=-cosβ，根據(jù)α，β均為銳角，化簡(jiǎn)即可求出α+2β的值．

解答： 解：由3sinα=2sinβ，得sinβ=

3

2

sinα，由3cosα+2cosβ=3，得cosβ=

3

2

-

3

2

cosα，
將3sinα-2sinβ=0，兩邊平方得：（3sinα-2sinβ）²=0，
整理得：9sin²α-12sinαsinβ+4sin²β=0①，
同理，將3cosα+2cosβ=3，兩邊平方得：（3cosα+2cosβ）²=9，
整理得：9cos²α+12cosαcosβ+4cos²β=9②，
兩式相加得9sin²α-12sinαsinβ+4sin²β+9cos²α+12cosαcosβ+4cos²β=9
整理得：13+12（cosαcosβ-sinαsinβ）=9，
即cosαcosβ-sinαsinβ=-

1

3

，即cos（α+β）=-

1

3

，
將sinβ=

3

2

sinα，cosβ=

3

2

-

3

2

cosα代入得：cosα（

3

2

-

3

2

cosα）-

3

2

sin²α=-

1

3

，
整理得：

3

2

cosα-

3

2

cos²α-

3

2

（1-cos²α）=-

1

3

，
解得：cosα=

7

9

，cosβ=

3

2

-

3

2

cosα=

1

3

，
即cos（α+β）=-cosβ，
∵α、β∈（0，

π

2

），∴α+β∈（0，π），
∴cos（α+β）=cos（π-β），即α+β=π-β，
則α+2β=π．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．