Question

6．若f（x）是定義在R上的減函數(shù)，且對(duì)任意的a、b∈R滿足：f（a+b）=f（a）+f（b）．且f（-2）=12
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若f（k-2）＜f（2k）-6，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，先求出f（0）的值，再令令a=x，b=-x，根據(jù)奇偶性的定義即可判斷，
（2）令x=y=-1，求出f（-1）=6，由f（k-2）＜f（2k）-6，轉(zhuǎn)化為f（k-2）＜f（2k-1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得到k-2＞2k-1解得即可．

解答 解：設(shè)x=y=0：f（0+0）=f（0）+f（0），
即f（0）=0，
再令a=x，b=-x，
則f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，
（2）令x=y=-1
則f（-2）=2f（-1）=12
得f（-1）=6，
∵f（k-2）＜f（2k）-6=f（2k）-f（-1）=f（2k）+（-f（-1））=f（2k+1），
又f（x）是定義在R上的減函數(shù)，
∴k-2＞2k+1
解得k＜-3，
故k的取值范圍為（-∞，-3）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)表達(dá)式反映函數(shù)性質(zhì)及抽象函數(shù)表達(dá)式的應(yīng)用，函數(shù)奇偶性的定義及其證明，利用函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法．