Question

已知數(shù)列的前項和為，且，N*

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）已知（N*），記（且），是否存在這樣的常數(shù)，使得數(shù)列是常數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

（3）若數(shù)列，對于任意的正整數(shù)，均有成立，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

Answer 1

（1） （）;（2） ;（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）由題意可知，所以，由得時，，兩式相減得， ，數(shù)列是以2為首項，公比為的等比數(shù)列，即可求出結(jié)果；（2）由于數(shù)列是常數(shù)列，所以=為常數(shù)，

故，只有,解得,即可求出結(jié)果；（3）, ，，其中，所以 當時，采用錯位相減即可求出結(jié)果.

試題解析：【解析】
（1），所以1分

由得時，2分

兩式相減得，，，3分

數(shù)列是以2為首項，公比為的等比數(shù)列，所以（）5分

（2）由于數(shù)列是常數(shù)列

=6分

為常數(shù)7分

只有,8分；解得,9分

此時10分

（3）①

，，其中，所以11分

當時，②12分

②式兩邊同時乘以得，③13分

①式減去③得，，所以14分

且15分

所以數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列。16分.

考點：1.數(shù)列的遞推關(guān)系；2.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.數(shù)列求和,