Question

9．已知函數(shù)f（x）=2^x-2^-x，定義域為R；函數(shù)g（x）=2^x+1-2^2x，定義域為[-1，1]．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性（不必證明）并證明其奇偶性；
（Ⅱ）若方程g（x）=t有解，求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ） 若不等式f（g（x））+f（3am-m²-1）≤0對一切x∈[-1，1]，a∈[-2，2]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）f（x）在R上為增函數(shù)；在R上為奇函數(shù)；
（II）可知t的范圍與g（x）的值域相同，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)的值域求法，即可得到所求范圍；
（III）由f（x）的單調(diào)性和奇偶性可得，f（g（x））≤f（-3am+m²+1），即有g（x）≤-3am+m²+1對一切x∈[-1，1]，a∈[-2，2]恒成立，（g（x））_max≤（-3am+m²+1）_min，運用單調(diào)性求得最值，即可得到m的范圍．

解答 解：（I）f（x）=2^x-2^-x在R上單調(diào)遞增，
因為f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），所以f（x）為奇函數(shù)；
（II）可知t的范圍與g（x）的值域相同，
g（x）=2^x+1-2^2x，令t=2^x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
則g（x）=-t²+2t的值域為[0，1]；
（III）由f（g（x））+f（3am-m²-1）≤0
得f（g（x））≤-f（3am-m²-1），
由（I）得f（g（x））≤f（-3am+m²+1），
即有g（x）≤-3am+m²+1對一切x∈[-1，1]，a∈[-2，2]恒成立，
則（g（x））_max≤（-3am+m²+1）_min，
設h（a）=-3am+m²+1，則h（a）≥1對一切a∈[-2，2]恒成立，
若m=0則恒成立；
若m≠0則$\left\{\begin{array}{l}{h（2）≥1}\\{h（-2）≥1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-6m+1≥1}\\{{m}^{2}+6m+1≥1}\end{array}\right.$，
解得m∈（-∞，-6]∪[6，+∞）．
綜上所述m的取值范圍是（-∞，-6]∪[6，+∞）∪{0}．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷和應用，考查方程有解和不等式恒成立問題的解法，注意運用函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．