Question

如圖所示的四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為a（a＞0）的菱形，∠ABC=60°，點P在底面的射影O在DA的延長線上，且OC過邊AB的中點E．
（1）證明：BD⊥平面POB；
（2）若PO=

a

2

，求平面PAC與平面PCO夾角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）連AC，得△ABC是等邊三角形，從而得OC⊥AB，OC⊥CD，由菱形性質(zhì)得OB⊥BD，由線面垂直得PO⊥BD，由此能證明BD⊥平面POB．
（2）過點O作OC的垂線為x軸，OC所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出平面PAC與平面PCO夾角的余弦值．

解答： （1）證明：連AC，∵底面ABCD是邊長為a（a＞0）的菱形，∠ABC=60°，
∴AC=a，∴△ABC是等邊三角形，
又∵E是AB的中點，∴OC⊥AB，
又AB∥CD，∴OC⊥CD，AE∥CD，AE=

1

2

CD，
又由題意知∠ADC=60°，∴A，E分別為邊OD與OC的中點，
連OB，在菱形ABCD中有AC⊥BD，∴OB⊥BD，
又PO⊥底面ABCD，
∴PO⊥BD，PO∩BO=O，
∴BD⊥平面POB．
（2）解：過點O作OC的垂線為x軸，OC所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則O（0，0，0），P（0，0，

a

2

），A（-

a

2

，

3

2

a，-

a

2

），B（

a

2

，

3

2

a，0），C（0，

3

a，0），
由（1）知AB⊥OC，PO⊥底面ABCD，
∴PO⊥AB，∴AB⊥平面POC，
∴

AB

=（a，0，0）是平面POC的法向量，
設(shè)平面PAC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • PA =-x+ 3 y-z=0 n • AC =x+ 3 y=0

，取x=-3，得

n

=(-3，

3

，6)，
設(shè)平面PAC與平面PCO的夾角為α，
則cosα=|cos＜

AB

，

n

＞|=|

-3a

4 3 a

|=

3

4

，
∴平面PAC與平面PCO夾角的余弦值為

3

4

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．