Question

若x，y是正實(shí)數(shù)，則

x+y

2x+y

+

x

x+2y

的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，設(shè)

x

y

=t（t＞0），把

x+y

2x+y

+

x

x+2y

化為函數(shù)f（t）=

t+1

2t+1

+

t

t+2

（t＞0），利用導(dǎo)數(shù)求出f（t）的最小值即可．

解答： 解：根據(jù)題意，設(shè)

x

y

=t（t＞0），
∴

x+y

2x+y

+

x

x+2y

=

x y +1

2• x y +1

+

x y

x y +2

；
∴函數(shù)f（t）=

t+1

2t+1

+

t

t+2

（t＞0），
∴f′（t）=

(2t+1)-2(t+1)

(2t+1)2

+

(t+2)-t

(t+2)2

=

2

(t+2)2

-

1

(2t+1)2

；
令f′（x）=0，
解得t=

2- 2

2 2 -1

，
∴當(dāng)t=

2- 2

2 2 -1

時(shí)，

t+1

2t+1

=

2- 2 2 2 -1 +1

2(2- 2 ) 2 2 -1 +1

=

1+ 2

3

，

t

t+2

=

2- 2 2 2 -1

2- 2 2 2 -1 +2

=

2 -1

3

；
此時(shí)f（t）取得最小值，
∴f（t）_min=

1+ 2

3

+

2 -1

3

=

2 2

3

；
即

x+y

2x+y

+

x

x+2y

的最小值是

2 2

3

．
故答案為：

2 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，是有些難度的計(jì)算題．