Question

已知函數(shù)h（x）=x²+px+q在（n，n+1）（n∈Z）有兩個不同零點，令A(yù)=max{h（n），h（n+1）}，B=min{h（n），h（n+1）}，（其中max表示兩個數(shù)中較大的，而min表示兩個數(shù)中較小的），則（　�。�

• A、B＜

  1

  4

  ，A＞1
• B、B＞

  1

  4

  ，A＜1
• C、B＜

  1

  4

  ，A＞

  1

  2

• D、B＞

  1

  4

  ，A＜

  1

  2

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)h（x）=x²+px+q在（n，n+1）（n∈Z）有兩個不同零點，等價于方程有兩根，設(shè)兩根為α，β由題意可得，h（n）＞0，h（n+1）＞0，由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得-p=α+β，q=αβ，先尋求h（n）=h（n+1）時的條件，然后再由h（n）的表達式求得B=min{h（n），h（n+1）}解范圍，再根據(jù)h（x）=x²+px+q=（x-α）（x-β），進而由max{h（n），h（n+1）}≤

h(n)h(n+1)

和基本不等式可得A范圍，繼而求出答案．

解答： 解：函數(shù)h（x）=x²+px+q在（n，n+1）（n∈Z）有兩個不同零點，等價于方程有兩根，設(shè)兩根為α，β，
由題意可得，h（n）＞0，h（n+1）＞0，
由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得-p=α+β，q=αβ．
當(dāng)h（n）=h（n+1）時，
n²+pn+q=（n+1）²+p（n+1）+q，
即2n+1+p=0，
∴-p=2n+1，
∴α+β=-p=2n+1，
∴n=

1

2

（α+β-1）
∵h（n）=n²+pn+q=n²-（2n+1）n+q=-n²-n+q=-n（n+1）+q=-

1

4

（α+β-1）（α+β+1）+αβ 
=

1-(α-β)2

4

＜

1

4

，
∴min{h（n），h（n+1）}的取值范圍是（0，

1

4

）．
∴h（x）=x²+px+q=（x-α）（x-β）
∴h（n）=（n-α）（n-β），h（n+1）=（n+1-α）（n+1-β），
∴max{h（n），h（n+1）}≤

h(n)h(n+1)

=

(n-α)(n-β)(n+1-α)(n+1-β)

≤

(2n-α-β+α+β-2n-2)2 256

=

1

8

＜1
又由兩個等號不能同時成立
故max{h（n），h（n+1）}＜1．
故選：B．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，屬于難題．