Question

16．已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=1和兩點(diǎn)A（1-m，0），B（1+m，0），m＞0，若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，則m的最大值為2$\sqrt{5}$+1．

Answer 1

分析 C：（x-3）²+（y-4）²=1的圓心C（3，4），半徑r=1，設(shè)P（a，b）在圓C上，則$\overrightarrow{AP}$=（a+m-1，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m-1，b），由已知得m²=（a-1）²+b²，m的最大值即為即為$\sqrt{（3-1）^{2}+{4}^{2}}$+1=2$\sqrt{5}$+1．

解答 解：圓C：（x-3）²+（y-4）²=1的圓心C（3，4），半徑r=1，
設(shè)P（a，b）在圓C上，則$\overrightarrow{AP}$=（a+m-1，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m-1，b），
∵∠APB=90°，∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=0，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（a+m-1）（a-m-1）+b²=0，
∴m²=（a-1）²+b²，
∴m的最大值即為$\sqrt{（3-1）^{2}+{4}^{2}}$+1=2$\sqrt{5}$+1．
故答案為：2$\sqrt{5}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直線與圓的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．