Question

如圖，AB是圓O的直徑，AB=5，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上一點(diǎn)，AC=PA=4，求：
（1）直線PA與BC所成的角；
（2）二面角P-BC-A的大��；
（3）三棱錐A-PBC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）判定PA⊥BC，即可得到直線PA與BC所成的角；
（2）求出二面角P-BC-A的平面角，即可求出二面角的大��；
（3）根據(jù)三棱錐A-PBC的體積公式，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
得PA⊥BC．
∴直線PA與BC所成的角為90°．
（2）由AB是圓的直徑，得AC⊥BC，
又PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC．則BC⊥PC．
即∠PCA是二面角P-BC-A的平面角，
∵AC=PA=4，
∴tan∠PCA=

PA

AC

=1，即∠PCA=

π

4

．
（3）∵AB=5，AC=4，
∴BC=3，即△ABC的面積S=

1

2

×3×4=6，
則∵三棱錐A-PBC的體積等于三棱錐P-ABC的體積，
∴V=

1

3

×S△ABC×PA=

1

3

×6×4=8，
故三棱錐的體積為8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的求解，棱錐的體積，其中熟練掌握空間線線垂直，線面垂直的判定是解決本題的關(guān)鍵．