Question

【題目】如圖，四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，PD⊥AB，O是AD的中點，BO＝CO.

（1）求證：AB⊥平面PAD；

（2）若AD＝2AB＝4， PA＝PD，點M在側棱PD上，且PD＝3MD，二面角P－BC－D的大小為，求直線BP與平面MAC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；

【解析】

（1）設N是BC的中點，可得，所以，可得平面；

（2）由二面角的定義找到二面角的平面角，得到,建系求得平面的一個法向量及直線的向量，利用公式可求得直線BP與平面MAC所成角的正弦值.

（1）在平行四邊形ABCD中，設N是BC的中點，連接ON，因為O是AD的中點，所以，

又因為，得，所以，

平行四邊形ABCD中，，則，又且平面平面，

故平面.

（2）由（1）知平面，又平面，于是平面平面，

連接，由,可得，

則，又，所以平面，得，故二面角的平面角為，

所以，以O為原點，以為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，則，

由，可知，則，

設平面MAC的一個法向量為，由，即，令，得，

所以，

設直線BP與平面MAC所成的角為，

所以，

所以直線BP與平面MAC所成角的正弦值為.

故得解.